Question

某房地產開發商投資81萬元建一座寫字樓，第一年裝修費為1萬元，以后每年增加2萬元，把寫字樓出租，每年收入租金30萬元．
（1）若扣除投資和裝修費，則從第幾年開始獲取純利潤？
（2）若干年后開發商為了投資其他項目，有兩種處理方案：
    ①純利潤總和最大時，以10萬元出售；
    ②該樓年平均利潤最大時以46萬元出售該樓；
    問哪種方案更優？

Answer 1

分析：（1）設第n年獲取利潤為y萬元，n年共收入租金30n萬元．付出裝修費共 n+

n(n-1)

2

×2=n2，付出投資81萬元，由此可知利潤y=30n-（81+n²），由y＞0能求出從第幾年開始獲取純利潤．
（2）①純利潤總和最大時，以10萬元出售，利用二次函數的性質求出最大利潤，方案②利用基本不等式進行求解，當兩種方案獲利一樣多，就看時間哪個方案短就選擇哪個．

解答：解：（1）設第n年獲取利潤為y萬元
n年共收入租金30n萬元，付出裝修費構成一個以1為首項，
2為公差的等差數列，共 n+

n(n-1)

2

×2=n2
因此利潤y=30n-（81+n²），令y＞0
解得：3＜n＜27，
所以從第4年開始獲取純利潤．
（2）純利潤y=30n-（81+n²）=-（n-15）²+144
所以15年后共獲利潤：144+10=154（萬元）
年平均利潤W=

30n-(81+n2)

n

=30-

81

n

-n≤30-2

81

=12
（當且僅當

81

n

=n，即n=9時取等號）所以9年后共獲利潤：12×9+46=154（萬元）
兩種方案獲利一樣多，而方案②時間比較短，所以選擇方案②

點評：本題考查數列的性質和應用，同時考查了利基本不等式求函數的最值，解題時要認真審題，仔細解答．