Question

過點A(a,b)任作互相垂直的兩條直線l₁與l₂,且l₁與x軸交于M點,l₂與y軸交于N點,求線段MN中點P的軌跡方程及|PA|的最小值.

Answer 1

解：設P(x,y),l₁的斜率為k,

∵l₁⊥l₂,

∴l₂的斜率為-.

∴

對l₁:令y=0,

∴x=a-.

∴M(a-,0).

對l₂:令x=0,

∴y=b+.

∴N(0,b+).

∴

消去k得2ax+2by-a²-b²=0.

當直線l₁的斜率不存在或等于0時,亦滿足上式.

∴P點軌跡方程為2ax+2by-a²-b²=0.

當PA與直線2ax+2by-a²-b²=0垂直時,PA的值最小.

∴|PA|_min==.