Question

如圖所示，正方形ABCD所在的平面與等腰△ABE所在的平面互相垂直，其中頂∠BAE=120°，AE=AB=4，F為線段AE的中點．
（Ⅰ）若H是線段BD上的中點，求證：FH∥平面CDE；
（Ⅱ）若H是線段BD上的一個動點，設直線FH與平面ABCD所成角的大小為θ，求tanθ的最大值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）連接AC，證明FH∥CE，即可證明：FH∥平面CDE；
（Ⅱ）作FI⊥AB，垂足為I，則FI⊥AD，FI⊥平面ABCD，可得∠FHI是直線FH與平面ABCD所成角，tan∠FHI=

FI

IH

=

3

IH

，當IH⊥BD時，IH取得最小值

5

2

2

，即可求tanθ的最大值．

解答： （Ⅰ）證明：連接AC，
∵ABCD是正方形，
∴H是AC的中點，
∵F是AE的中點，
∴FH∥CE，
∵FH?平面CDE，CE?平面CDE，
∴FH∥平面CDE；
（Ⅱ）解：∵正方形ABCD所在的平面與等腰△ABE所在的平面互相垂直，DA⊥AB，
∴DA⊥平面ABE，
作FI⊥AB，垂足為I，則FI⊥AD，∴FI⊥平面ABCD，
∴∠FHI是直線FH與平面ABCD所成角．
∵FI=AFsin60°=

3

，
∴tan∠FHI=

FI

IH

=

3

IH

，
當IH⊥BD時，IH取得最小值

5

2

2

，
∴（tan∠FHI）_max=

6

5

．

點評：本題考查線面平行，考查直線FH與平面ABCD所成角，正確運用線面平行的判定定理，作出線面角是關鍵．