Question

(2007北京宣武模擬)已知函數f(x)=[x[x]](xR)，其中[x]表示不超過x的最大整數．

如[－2.1]=－3，[－3]=－3，[2.5]=2．

(1)判斷f(x)的奇偶性；

(2)若x[－2，3]，求f(x)的值域；

(3)若，f(x)的值域為，現將中的元素的個數記為，試求與的關系，并進一步求出的表達式．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)∵， ， ∴，， 故f(x)為非奇非偶函數． (2)當－2≤x＜－1時，[x]=－2，則2＜x[x]≤4，∴f(x)可取2，3，4； 當－1≤x＜0時，[x]=－1，則0＜x[x]≤1，∴f(x)可取0，1； 當0≤x＜1時，[x]=0，則x[x]=0，∴f(x)=0； 當1≤x＜2時，[x]=1，則1≤x[x]＜2，∴f(x)=1； 當2≤x＜3時，[x]=2，則4≤x[x]＜6，∴f(x)可取4，5； 又f(3)=[3[3]]=9，故所求f(x)值域為{0，1，2，3，4，5，9}． (3)當n＜x＜n＋1時，[x]=n，則， 故f(x)可取，，，…，，當x=n＋1時，，又當時，顯然有． 因此，可得到，又由(2)知，， ∴ ．