分析:(Ⅰ)求出函數導數,根據f'(2)=1,即可得到a的值.
(Ⅱ)當a=0時,求函數f(x)的導數,令導數等于0,解得極值點,再借助函數在定義域上的單調性,判斷極值點處取得最大值.
(Ⅲ)求出函數的導數,令導數大于0,解得函數的增區間,令導數小于0,解得函數的減區間.因為函數中含有參數,注意對參數討論.
解答:解:(Ⅰ)函數的定義域為(0,+∞),
f′(x)=+ax-(a+1).
由f'(2)=1,解得
a=.
(Ⅱ)由f(x)=lnx-x,得
f′(x)=-1=.
由
f′(x)=>0,解得0<x<1;由
f′(x)=<0,解得x>1.
所以函數f(x)在區間(0,1)遞增,(1,+∞)遞減.
因為x=1是f(x)在(0,+∞)上唯一一個極值點,
故當x=1時,函數f(x)取得最大值,最大值為f(1)=-1.
(Ⅲ)因為
f′(x)=+ax-(a+1)==(1)當a=0時,
f′(x)=.令
f′(x)=>0解得0<x<1
(2)a>0時,
令
=0,解得
x=或x=1.
(ⅰ)當
>1即0<a<1時,
由
>0,及x>0得 ax
2-(a+1)x+1>0,
解得0<x<1,或
x>;
(ⅱ)當
=1即a=1時,
因為x>0,
f′(x)==≥0恒成立.
(ⅲ)當
<1即a>1時,由
>0,及x>0得 ax
2-(a+1)x+1>0,
解得
0<x<,或x>1;
綜上所述,
當a=0時,函數f(x)的遞增區間是(0,1);
當0<a<1時,函數f(x)的遞增區間是(0,1),
(,+∞);
當a=1時,函數f(x)的遞增區間是(0,+∞);
當a>1時,函數f(x)的遞增區間是
(0,),(1,+∞).
點評:本題主要考查了導數與函數極值,最值,單調區間的關系.