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(2010•朝陽區二模)已知函數f(x)=lnx+
ax22
-(a+1)x
,a∈R,且a≥0.
(Ⅰ)若f'(2)=1,求a的值;
(Ⅱ)當a=0時,求函數f(x)的最大值;
(Ⅲ)求函數f(x)的單調遞增區間.
分析:(Ⅰ)求出函數導數,根據f'(2)=1,即可得到a的值.
(Ⅱ)當a=0時,求函數f(x)的導數,令導數等于0,解得極值點,再借助函數在定義域上的單調性,判斷極值點處取得最大值.
(Ⅲ)求出函數的導數,令導數大于0,解得函數的增區間,令導數小于0,解得函數的減區間.因為函數中含有參數,注意對參數討論.
解答:解:(Ⅰ)函數的定義域為(0,+∞),f′(x)=
1
x
+ax-(a+1)

由f'(2)=1,解得a=
3
2

(Ⅱ)由f(x)=lnx-x,得f′(x)=
1
x
-1=
1-x
x

f′(x)=
1-x
x
>0
,解得0<x<1;由f′(x)=
1-x
x
<0
,解得x>1.
所以函數f(x)在區間(0,1)遞增,(1,+∞)遞減.
因為x=1是f(x)在(0,+∞)上唯一一個極值點,
故當x=1時,函數f(x)取得最大值,最大值為f(1)=-1.
(Ⅲ)因為f′(x)=
1
x
+ax-(a+1)=
ax2-(a+1)x+1
x
=
(ax-1)(x-1)
x

(1)當a=0時,f′(x)=
1-x
x
.令f′(x)=
1-x
x
>0
解得0<x<1
(2)a>0時,
(ax-1)(x-1)
x
=0
,解得x=
1
a
或x=1.
(ⅰ)當
1
a
>1
即0<a<1時,
ax2-(a+1)x+1
x
>0
,及x>0得 ax2-(a+1)x+1>0,
解得0<x<1,或x>
1
a

(ⅱ)當
1
a
=1
即a=1時,
因為x>0,f′(x)=
x2-2x+1
x
=
(x-1)2
x
≥0
恒成立.
(ⅲ)當
1
a
<1
即a>1時,由
ax2-(a+1)x+1
x
>0
,及x>0得 ax2-(a+1)x+1>0,
解得0<x<
1
a
,或x>1;
綜上所述,
當a=0時,函數f(x)的遞增區間是(0,1);
當0<a<1時,函數f(x)的遞增區間是(0,1),(
1
a
,+∞)

當a=1時,函數f(x)的遞增區間是(0,+∞);
當a>1時,函數f(x)的遞增區間是(0,
1
a
)
,(1,+∞).
點評:本題主要考查了導數與函數極值,最值,單調區間的關系.
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a
=(1,2),
b
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a
+b
b
b
垂直,那么實數k的值為
-13
-13

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1
2
的圖象大致是(  )

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9
9

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π
6
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3
]時,求函數f(x)的最大值及取得最大值時的x的值.

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