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在平面直角坐標系xOy中，過定點C(0，p)作直線與拋物線x2＝2px(p＞0)相交于A、B兩點．

(1)

若點N是點C關于坐標原點O的對稱點，求△ANB面積的最小值；

(2)

是否存在垂直于y軸的直線l，使得l被以AC為直徑的圓截得弦長恒為定值？若存在，求出l的方程；若不存在，說明理由．(此題不要求在答題卡上畫圖)

答案：
解析：

(1)

　　解法1：依題意，點的坐標為，可設，

直線的方程為，與聯立得消去得．

由韋達定理得，．

于是．

，

當時，．

　　解法2：前同解法1，再由弦長公式得

，

又由點到直線的距離公式得．

從而，

當時，．

(2)

　　解法1：假設滿足條件的直線存在，其方程為，

的中點為，與為直徑的圓相交于點，的中點為，

則，點的坐標為．

，

，

，

．

令，得，此時為定值，故滿足條件的直線存在，其方程為，

即拋物線的通徑所在的直線．

　　解法2：假設滿足條件的直線存在，其方程為，則以為直徑的圓的方程為，

將直線方程代入得，

則．

設直線與以為直徑的圓的交點為，

則有．

令，得，此時為定值，故滿足條件的直線存在，其方程為，

即拋物線的通徑所在的直線．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

在平面直角坐標系xoy中，已知圓心在直線y=x+4上，半徑為2
2
的圓C經過坐標原點O，橢圓
x2
a2
+
y2
9
=1(a＞0)與圓C的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為10．
（1）求圓C的方程；
（2）若F為橢圓的右焦點，點P在圓C上，且滿足PF=4，求點P的坐標．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，在平面直角坐標系xOy中，銳角α和鈍角β的終邊分別與單位圓交于A，B兩點．若點A的橫坐標是
3
5
，點B的縱坐標是
12
13
，則sin（α+β）的值是
16
65
16
65
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

在平面直角坐標系xOy中，若焦點在x軸的橢圓
x2
m
+
y2
3
=1的離心率為
1
2
，則m的值為
4
4
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•泰州三模）選修4-4：坐標系與參數方程
在平面直角坐標系xOy中，已知A（0，1），B（0，-1），C（t，0），D(
3t
，0)，其中t≠0．設直線AC與BD的交點為P，求動點P的軌跡的參數方程（以t為參數）及普通方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•東莞一模）在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦點為F1（-1，0），且橢圓C的離心率e=
1
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設橢圓C的上下頂點分別為A1，A2，Q是橢圓C上異于A1，A2的任一點，直線QA1，QA2分別交x軸于點S，T，證明：|OS|•|OT|為定值，并求出該定值；
（3）在橢圓C上，是否存在點M（m，n），使得直線l：mx+ny=2與圓O：x2+y2=
16
7
相交于不同的兩點A、B，且△OAB的面積最大？若存在，求出點M的坐標及對應的△OAB的面積；若不存在，請說明理由．

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同步練習冊答案
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