Question

設變量a，b滿足約束條件：

b≥a a+3b≤4，z=a-3b a≥-2.

的最小值為m，則函數f(x)=

1

3

x3+

m

16

x2-2x+2的極小值等于（　　）

• A．-

  4

  3

• B．-

  1

  6

• C．2
• D．

  19

  6

Answer 1

分析：先根據約束條件畫出可行域，設z=a-3b，再利用z的幾何意義求最值，只需求出直線z=a-3b過可行域內的點A時，從而得到z=a-3b的最小值m，最后將m的值代入函數表達式利用導數求出它的極小值即可．

解答：解：先根據約束條件畫出可行域，設z=a-3b，
將z的值轉化為直線z=a-3b在y軸上的截距，
當直線z=a-3b經過點A（-2，2）時，z最小，
最小值為：m=-8
∴f(x)=

1

3

x3-

1

2

x2-2x+2
f′（x）=x²-x-2
∴f（x）極值點是：x=2或-1．
f（x）的極小值等于f（2）=-

4

3

故選A．

點評：本題主要考查了用平面區域二元一次不等式組、利用導數研究函數的極值，以及簡單的轉化思想和數形結合的思想，屬中檔題．目標函數有唯一最優解是最常見的問題，這類問題一般要分三步：畫出可行域、求出關鍵點、定出最優解．