Question

過曲線C：f（x）=x³-ax+b外的點A（1，0）作曲線C的切線恰有兩條，
（1）求a，b滿足的等量關系；
（2）若存在x₀∈R⁺，使f(x0)＞x0•ex0+a成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設出切點，求出切點處的導函數即切線的斜率，據點斜式寫出切線的方程，將切點代入，列出關于切點橫坐標的方程，據題意此方程有兩個根，構造函數，通過導函數求出兩個極值，令極值為0，求出a，b的關系．
（2）寫出不等式，分離出參數a，構造函數g（x），將問題轉化為a＜g（x）的最大值；通過對g（x）求兩階導數求g（x）的最值．

解答：解：（1）f′（x）=3x²-a，
過點A（1，0）作曲線C的切線，設切點（x₀，f（x₀）），則切線方程為：y=（3x₀²-a）（x-1）
將（x₀，f（x₀））代入得：f（x₀）=（3x₀²-a）（x₀-1）=x₀³-ax₀+b
即2x₀³-3x₀²+a-b=0（*）    由條件切線恰有兩條，方程（*）恰有兩根．
令u（x）=2x³-3x²+a-b，u′（x）=6x²-6x=6x（x-1），顯然有兩個極值點x=0與x=1，
于是u（0）=0或u（1）=0
當u（0）=0時，a=b；
當u（1）=0時，a-b=1，此時f（x）=x³-ax+a-1=（x-1）（x²+x+1-a）經過（1，0）與條件不符
所以a=b
（2）因為存在x₀∈R⁺，使f(x0)＞x0•ex0+a，即x03-ax0+a＞x0•ex0+a
所以存在x₀∈R⁺，使x03-ax0＞x0•ex0，得x02-a＞ex0，即a＜x02-ex0成立
設g（x）=x²-e^x（x＞0），問題轉化為a＜g（x）的最大值
g′（x）=2x-e^x，
g′′（x）=2-e^x，令g′′（x）=0得x=ln2，
當x∈（0，ln2）時g′′（x）＞0此時g′（x）為增函數，當x∈（ln2，+∞）時g′′（x）＜0，此時g′（x）為減函數，
所以g′（x）的最大值為g′（ln2）=2ln2-e^ln2=2ln2-2=2（ln2-1）
∵ln2＜1，∴g′（x）的最大值g′（ln2）＜0，得g′（x）＜0
所以g（x）在（0，+∞）上單調遞減，g（x）＜g（0）=-1
因此a≤-1．

點評：求曲線的切線問題常利用導數的幾何意義：在切點處的導數值為曲線的切線斜率；解決不等式恒成立問題常采用分離參數轉化為求函數的最值．