Question

已知圓G：x²+y²-2

2

x-2y=0經過橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點F及上頂點B．
（1）求橢圓的方程；
（2）過橢圓外一點M（m，0）（m＞a）傾斜角為

2

3

π的直線l交橢圓于C、D兩點，若點N（3，0）在以線段CD為直徑的圓E的外部，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由圓的方程與坐標軸的交點得到橢圓的半焦距及半短軸長，結合a²=b²+c²求得半長軸長，則橢圓的方程可求；
（2）設出直線l的方程，和橢圓方程聯立后化為關于x的一元二次方程，由判別式大于0求出m的初步范圍，再設出交點坐標，由點N（3，0）在以線段CD為直徑的圓E的外部，轉化為

NC

•

ND

＞0求解m的范圍，最后取交集得答案．

解答：解：（1）∵圓G：x²+y²-2

2

x-2y=0與x軸、y軸交點為(2

2

，0)和（0，2），
∴c=2

2

，b=2，
∴a²=b²+c²=12，
∴橢圓方程為：

x2

12

+

y2

4

=1；
（2）設直線l的方程為：y=-

3

(x-m)（m＞2

3

），
由

y=- 3 (x-m) x2+3y2=12

，可得：10x²-18mx+9m²-12=0．
由△=324m²-40（9m²-12）＞0，
可得：m2＜

40

3

，即-

2 30

3

＜m＜

2 30

3

．
設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
則x1+x2=

9m

5

，x1x2=

9m2-12

10

．
∵

NC

•

ND

=(x1-3，y1)•(x2-3，y2)=（x₁-3）（x₂-3）+y₁y₂
=4x1x2-(3m+3)(x1+x2)+9+3m2＞0．
化簡得：2m²-9m+7＞0，解得：m＞

7

2

，
∴m的取值范圍為(

7

2

，

2 30

3

)．

點評：本題考查了橢圓的標準方程，考查了直線與圓錐曲線的關系，體現了數學轉化思想方法，訓練了利用向量法求解與圓錐曲線有關的問題，“設而不求”的解題思想使問題的求解得到了簡化，是高考試卷中的壓軸題．