Question

如圖，已知圓G：x²+y²-2x-

2

y=0經過橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦點F及上頂點B．過點M（m，0）作傾斜角為

5

6

π的直線l交橢圓于C、D兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）若點Q（1，0）恰在以線段CD為直徑的圓的內部，求實數m范圍．

Answer 1

分析：（1）利用已知即可得到點F，B的坐標，即可得到c，b，再利用a²=b²+c²即可；
（2）把直線的方程與橢圓的方程聯立即可得到根與系數的關系，又點Q（1，0）在以線段CD為直徑的圓內，即可得到

QC

•

QD

＜0．代入即可得到m的取值范圍．

解答：解：（1）∵圓G：x2+y2-2x-

2

y=0經過橢圓的右焦點F及上頂點B．
∴F（2，0），B（0，

2

），∴c=2，b=

2

，
∴a²=b²+c²=6．
∴橢圓的方程為

x2

6

+

y2

2

=1．
（2）由題意l的方程為：y=-

3

3

(x-m)．
設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）．
聯立

y=- 3 3 (x-m) x2 6 + y2 2 =1

，消去y整理得2x²-2mx+m²-6=0．
由△＞0得到4m²-4×2（m²-6）＞0，解得-2

3

＜m＜2

3

．
∴x₁+x₂=m，x1x2=

m2-6

2

．
又點Q（1，0）在以線段CD為直徑的圓內，∴

QC

•

QD

＜0．
∴（x₁，y₁）•（x₂-1，y₂）＜0，
∴x1x2-(x1+x2)+1+(-

3

3

)2(x1-m)(x2-m)＜0．
∴

4

3

x1x2-(1+

1

3

m)(x1+x2)+

1

3

m2+1＜0．
∴2m²-3m-9＜0，
解得-

3

2

＜m＜3．
綜上所述，m的取值范圍是(-

3

2

，3)．

點評：熟練掌握橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立得到根與系數的關系、點在圓的內部的等價條件、一元二次不等式的解法等是解題的關鍵．