Question

點Q位于直線x=-3右側，且到點F（-1，0）與到直線x=-3的距離之和等于4．
（1）求動點Q的軌跡C；
（2）直線l過點M（1，0）交曲線C于A、B兩點，點P滿足，，又=（x，0），其中O為坐標原點，求x的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，△PEF能否成為以EF為底的等腰三角形？若能，求出此時直線l的方程；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于題設條件中知Q位于直線x=-3右側，且到點F（-1，0）與到直線x=-3的距離之和等于4，故可設出Q（x，y），利用距離之和等于建立方程，整理出動點Q的軌跡C的方程；
（2）先處理條件點P滿足，，又=（x，0），得出P是AB中點，E是線段AB垂直平分線與X軸交點，設出直線l的方程為y=k（x-1），代入軌跡C的方程得到：k²x²+（4-2k²）x+k²=0（-3＜x≤0）（*）找出l與C有兩個不同交點的條件，解出引入的參數k的取值范圍，再由根與系數的關系解出AB中點P的坐標（用k表示），得出直線EP的方程，再研究E點的橫坐標求出x的取值范圍；
（3）不妨先假設可以，則須有2x_P=x_E+x_F，即：，解得：，這與（2）中的條件矛盾，即可說明這樣的直線不存在
解答：解：（1）Q（x，y），則|QF|+x+3=4（x＞-3），即：，化簡得：y²=-4x（-3＜x≤0）．
所以，動點Q的軌跡為拋物線y²=-4x位于直線x=-3右側的部分．…（4分）
（2）因為，所以，P為AB中點；又因為，且=（x，0），所以，點E為線段AB垂直平分線與x軸交點．
由題可知：直線l與x軸不垂直，所以可設直線l的方程為y=k（x-1），代入軌跡C的方程得到：k²x²+（4-2k²）x+k²=0（-3＜x≤0）（*）
設f（x）=k²x²+（4-2k²）x+k²，要使得l與C有兩個不同交點，需且只需
解之得：．
由（*）式得：，所以，AB中點P的坐標為：，．
所以，直線EP的方程為
令y=0得到點E的橫坐標為．
因為，所以，x_E∈（，-3）．…（10分）
（3）不可能．…（11分）
要使△PEF成為以EF為底的等腰三角形，需且只需2x_P=x_E+x_F，即：，解得：．
另一方面，要使直線l滿足（2）的條件，需要，所以，不可能使△PEF成為以EF為底的等腰三角形．…（14分）
點評：本題考查求軌跡方程，解題的關鍵是理解題意，由題設中所給的等量關系建立方程求出軌跡方程，本題第二小題的求解要注意位置關系與方程的轉化，由此得出兩曲線有兩個交點的條件，從而研究出點的橫坐標的取值范圍，本題中第三小題的求解用到了反證法的思想，先假設問題成立，由此出發推出矛盾，本題綜合性強，轉化靈活，涉及到的知識方法較多，解題時要注意體會總結知識的用法技巧與轉化技巧，本題易因為不知怎么轉化而導致無法解題