Question

已知雙曲線的離心率，過點A（0，-b）和B（a，0）的直線與原點的距離為．
（1）求雙曲線的方程；
（2）直線y=kx+m（k≠0，m≠0）與該雙曲線交于不同的兩點C、D，且C、D兩點都在以A為圓心的同一圓上，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用橢圓的離心率，過點A（0，-b）和B（a，0）的直線與原點的距離為，建立方程，求得幾何量，即可求得雙曲線方程；
（2）直線方程與雙曲線方程聯立，利用C、D兩點都在以A為圓心的同一圓上，可得|CA|=|DA|，結合韋達定理，即可求得m的取值范圍．
解答：解：（1）由題意可得：，則①
設直線方程為，原點到直線距離為，則，即②，
由①②可得a=，b=1，∴雙曲線方程為；
（2）設C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），由
消去y整理可得（1-3k²）x²-6kmx-3m²-3=0
∵直線y=kx+m（k≠0，m≠0）與該雙曲線交于不同的兩點C、D，
∴△=（-6km）²-4（1-3k²）（-3m²-3）＞0，即m²+1＞3k²，③
∵C、D兩點都在以A為圓心的同一圓上，
∴|CA|=|DA|
∴=
∵y₁=kx₁+m，y₂=kx₂+m
∴（1+k²）（x₁+x₂）+2k（m+1）=0
∵x₁+x₂=
∴（1+k²）×+2k（m+1）=0
∴4m+1-3k²=0
∵m²+1＞3k²＞0
∴m²+1＞4m+1＞0
∴＜m＜0或m＞4
點評：本題考查了利用雙曲線的性質求解雙曲線的方程，直線與雙曲線的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．