Question

已知復數z=（2+i）（i-3）+4-2i．
（Ⅰ）求復數z的共軛復數及|z|；
（Ⅱ）設復數z₁=z+（a²-2a）+ai（a∈R）是純虛數，求實數a的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵復數z=（2+i）（i-3）+4-2i
=2i+i²-6-3i+4-2i
=-3-3i，
∴，
|z|==3．
（Ⅱ）z₁=z+（a²-2a）+ai
=（a²-2a-3）+（a-3）i，
∵z₁是純虛數，
∴，
解得a=-1．
分析：（Ⅰ）利用復數運算法則知z=（2+i）（i-3）+4-2i=-3-3i，由此能求出復數z的共軛復數及|z|．
（Ⅱ）利用復數的運算法則知z₁=z+（a²-2a）+ai=（a²-2a-3）+（a-3）i，再由z₁是純虛數，得到，從而能求出實數a的值．
點評：本題考查復數的共軛復數和復數的模的求法，考查純虛數的應用，是基礎題．解題時要認真審題，注意復數運算法則的靈活運用．