Question

已知橢圓的右焦點F與拋物線y²=4x的焦點重合，短軸長為2．橢圓的右準線l與x軸交于E，過右焦點F的直線與橢圓相交于A、B兩點，點C在右準線l上，BC∥x軸．
（1）求橢圓的標準方程，并指出其離心率；
（2）求證：線段EF被直線AC平分．

Answer 1

（1）由題意，可設橢圓的標準方程為

x2

a2

+

y3

b2

=1（a＞b＞0）
∵y²=4x的焦點為F（1，0）
∴c=1，又2b=2，
∴b=1，a²=b²+c²=2，
所以，橢圓的標準方程為

x2

2

+y2=1
其離心率為e=

2

2

（2）證明：∵橢圓的右準線1的方程為：x=2，
∴點E的坐標為（2，0）設EF的中點為M，則M（

3

2

，0）
若AB垂直于x軸，則A（1，y₁），B（1，-y₁），C（2，-y₁）
∴AC的中點為N（

3

2

，0）
∴線段EF的中點與AC的中點重合，
∴線段EF被直線AC平分，
若AB不垂直于x軸，則可設直線AB的方程為
y=k（x-1），k≠0，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則C（2，-y₂）
把y=k（x-1）代入

x2

2

+y2=1
得（1+2k²）x²-4k²x+2（k²-1）=0
則有x₁+x₂=

4k2

1+2k2

，x₁x₂=

2(k2-1)

1+2k2

∴k_AM=

y1

x1- 3 2

=

k(x1-1)

x1- 3 2

=

2k(x1-1)

2x1-3

，k_CM=

y2

2- 3 2

=2k(x2-1)，
∵k_AM-kCM=2k

(x1-1)-(x2-1)

2x1-3

2(x1-3)=0
=2k

3(x1+x2)-2x1x2-4

2x1-3

=0
∴k_AM=k_CM
∴A、M、C三點共線，即AC過EF的中點M，
∴線段EF被直線AC平分．