Question

直線l：y=kx+1與雙曲線C：2x²-y²=1的右支交于不同的兩點(diǎn)A、B，
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)雙曲線C的右焦點(diǎn)F？若存在，求出k的值；若不存在，說(shuō)明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）將直線l的方程y=kx+1代入雙曲線C的方程2x²-y²=1后，
整理得，……①
依題意，直線l與雙曲線C的右支交于不同兩點(diǎn)，
故，解得k的取值范圍是；
（Ⅱ）設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，
則由①式得，……②
假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)雙曲線C的右焦點(diǎn)F（c，0），
則由FA⊥FB得：，即，
整理得，……③
把②式及代入③式化簡(jiǎn)得，
解得（舍去），
可知使得以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)雙曲線C的右焦點(diǎn)。