Question

設△ABC的三內角A、B、C成等差數列，sinA、sinB、sinC成等比數列，則這個三角形的形狀是

1. A.
   直角三角形
2. B.
   鈍角三角形
3. C.
   等腰直角三角形
4. D.
   等邊三角形

Answer 1

D
分析：先由△ABC的三內角A、B、C成等差數列，求得∠B=60°，∠A+∠C=120°①；再由sinA、sinB、sinC成等比數列，得sin²B=sinA•sinC，②，①②結合即可判斷這個三角形的形狀．
解答：∵△ABC的三內角A、B、C成等差數列，
∴∠B=60°，∠A+∠C=120°①；
又sinA、sinB、sinC成等比數列，
∴sin²B=sinA•sinC=，②
由①②得：sinA•sin（120°-A）
=sinA•（sin120°cosA-cos120°sinA）
=sin2A+•
=sin2A-cos2A+
=sin（2A-30°）+
=，
∴sin（2A-30°）=1，又0°＜∠A＜120°
∴∠A=60°．
故選D．
點評：本題考查數列與三角函數的綜合，關鍵在于求得∠B=60°，∠A+∠C=120°，再利用三角公式轉化，著重考查分析與轉化的能力，屬于中檔題．