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精英家教網如圖：已知圓上的弧
AC
=
BD
，過C點的圓的切線與BA的延長線交于E點，證明：
（Ⅰ）∠ACE=∠BCD．
（Ⅱ）BC2=BE×CD．
分析：（I）先根據題中條件：“
AC
=
BD
”，得∠BCD=∠ABC．再根據EC是圓的切線，得到∠ACE=∠ABC，從而即可得出結論．
（II）欲證BC2=BE x CD．即證
BC
BE
=
CD
BC
．故只須證明△BDC～△ECB即可．
解答：解：（Ⅰ）因為
AC
=
BD
，
所以∠BCD=∠ABC．
又因為EC與圓相切于點C，
故∠ACE=∠ABC
所以∠ACE=∠BCD．（5分）
（Ⅱ）因為∠ECB=∠CDB，∠EBC=∠BCD，
所以△BDC～△ECB，
故
BC
BE
=
CD
BC
．
即BC2=BE×CD．（10分）
點評：本題主要考查圓的切線的判定定理的證明、弦切角的應用、三角形相似等基礎知識，考查運化歸與轉化思想．屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

如圖所示，圓O的方程為：x2+y2=4．
（Ⅰ）已知點A的坐標為（2，0），B為圓周上任意一 點，求弧長
AB
小于π的概率；
（Ⅱ）若P（x，y）為圓O內任意一點，求點P到原點距離大于
2
的概率．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•浦東新區二模）（1）設橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1與雙曲線C2：9x2-
9y2
8
=1有相同的焦點F1、F2，M是橢圓C1與雙曲線C2的公共點，且△MF1F2的周長為6，求橢圓C1的方程；
我們把具有公共焦點、公共對稱軸的兩段圓錐曲線弧合成的封閉曲線稱為“盾圓”．
（2）如圖，已知“盾圓D”的方程為y2=
4x            (0≤x≤3)
-12(x-4)  (3＜x≤4)
．設“盾圓D”上的任意一點M到F（1，0）的距離為d1，M到直線l：x=3的距離為d2，求證：d1+d2為定值； 
（3）由拋物線弧E1：y2=4x（0≤x≤
2
3
）與第（1）小題橢圓弧E2：
x2
a2
+
y2
b2
=1（
2
3
≤x≤a）所合成的封閉曲線為“盾圓E”．設過點F（1，0）的直線與“盾圓E”交于A、B兩點，|FA|=r1，|FB|=r2且∠AFx=α（0≤α≤π），試用cosα表示r1；并求
r1
r2
的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：訓練必修四數學人教A版 人教A版 題型：044

如圖，已知圓上一點A(1，0)按逆時針方向做勻速圓周運動，1秒鐘時間轉過(0＜≤π)角，經過2秒鐘到達第三象限，經過14秒鐘又轉到與最初位置重合的位置，求角的弧度數．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

（1）設橢圓C1：數學公式與雙曲線C2：數學公式有相同的焦點F1、F2，M是橢圓C1與雙曲線C2的公共點，且△MF1F2的周長為6，求橢圓C1的方程；
我們把具有公共焦點、公共對稱軸的兩段圓錐曲線弧合成的封閉曲線稱為“盾圓”．
（2）如圖，已知“盾圓D”的方程為數學公式．設“盾圓D”上的任意一點M到F（1，0）的距離為d1，M到直線l：x=3的距離為d2，求證：d1+d2為定值；
（3）由拋物線弧E1：y2=4x（0數學公式）與第（1）小題橢圓弧E2：數學公式（數學公式）所合成的封閉曲線為“盾圓E”．設過點F（1，0）的直線與“盾圓E”交于A、B兩點，|FA|=r1，|FB|=r2且∠AFx=α（0≤α≤π），試用cosα表示r1；并求數學公式的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：黑龍江省模擬題 題型：解答題

選做題
如圖，已知圓上的弧AC=弧BD，過C的圓的切線與的A長線交于點。
（1）證明：；
（2）若，求的長

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同步練習冊答案
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