Question

關于x的不等式|ax+1|+a|x+1|≥3a．
（I）當a=1時，解上述不等式．
（II）當a＜0時，若上述不等式恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）把a=1代入不等式|ax+1|+a|x+1|≥3a，根據絕對值不等式的解法解不等式；
（II）當a＜0時，把不等式|ax+1|+a|x+1|≥3a等價變形為|x+1|-|x+

1

a

|≤3恒成立，根據絕對值不等式的幾何意義求最值．

解答：解：（I）當a=1時，不等式|ax+1|+a|x+1|≥3a為2|x+1|≥3
∴x+1≥

3

2

或x+1≤-

3

2

解得：{x|x≤-

5

2

或x≥

1

2

}
（II）當a＜0時，不等式|ax+1|+a|x+1|≥3a?-a|x+

1

a

|+a|x+1|≥3a?|x+1|-|x+

1

a

|≤3恒成立根據絕對值的幾何意義得|-1+

1

a

|≤3?1-

1

a

≤3，解得a≤-

1

2

．

點評：考查應用絕對值的幾何意義求最值，體現了轉化的思想，而對于含有參數的問題，增加了試題的難度，屬中等題．