Question

4．定義：如果函數y=f（x）在區間[a，b]上存在x₁，x₂（a＜x₁＜x₂＜b），滿足f′（x₁）=$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$，f′（x₂）=$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$，則稱函數y=f（x）在區間[a，b]上的一個雙中值函數，已知函數f（x）=x³-x²是區間[0，a]上的雙中值函數，則實數a的取值范圍是$（{\frac{1}{2}，1}）$．

Answer 1

分析 根據題目給出的定義得到${f}^{'}（{x}_{1}）={f}^{'}（{x}_{2}）=\frac{f（a）-f（0）}{a}={a}^{2}-a$，即方程3x²-2x=a²-a在區間（0，a）有兩個解，利用二次函數的性質能求出a的取值范圍．

解答 解：∵f（x）=x³-x²，∴f′（x）=3x²-2x，
∵函數f（x）=x³-x²是區間[0，a]上的雙中值函數，
∴區間[0，a]上存在x₁，x₂（0＜x₁＜x₂＜a），
滿足${f}^{'}（{x}_{1}）={f}^{'}（{x}_{2}）=\frac{f（a）-f（0）}{a}={a}^{2}-a$，
∴方程3x²-2x=a²-a在區間（0，a）有兩個不相等的解，
令g（x）=3x²-2x-a²+a，（0＜x＜a），
則$\left\{\begin{array}{l}{△=4-12（-{a}^{2}+a）＞0}\\{g（0）=-{a}^{2}+a＞0}\\{g（a）=2{a}^{2}-a＞0}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{2}＜a＜1$，
∴實數a的取值范圍是（$\frac{1}{2}，1$）．
故答案為：（$\frac{1}{2}，1$）．

點評 本題考查實數的取值范圍的求法，考查導數的性質及應用等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．