Question

等腰三角形ABC的周長為3

2

，則△ABC腰AB上的中線CD的長的最小值

1

．

Answer 1

分析：先設AB=AC=x，利用周長表示出BC=3

2

-2x．再由三角形的中線長計算公式，表示出CD關于x的解析式，最后利用二次函數的性質求出它的最小值，從而得出滿足條件的CD的長的最小值即可．

解答：解：設AB=AC=x，則：BC+2x=3

2

，∴BC=3

2

-2x．
由三角形的中線長計算公式，有：
CD=

1

2

2AC2+2BC2-AB2

=

1

2

x2+2(3 2 -2x)2

=

1

2

(3x-4 2 )2+4

，
∴當3x=4

2

，即x=

4 2

3

時，y=（3x-4

2

）²+4有最小值，即CD有最小值．
此時，y=4，
∴此時，CD=

1

2

y

=

1

2

×

4

=1．
即：滿足條件的CD的長的最小值為1．
故答案為：1．

點評：本小題主要考查二次函數性質的應用，考查運算求解能力，考查函數思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．