Question

動點P在x軸與直線l：y=3之間的區域（含邊界）上運動，且到點F（0，1）和直線l的距離之和為4．
（1）求點P的軌跡C的方程；
（2）過點Q（0，-1）作曲線C的切線，求所作的切線與曲線C所圍成區域的面積．

Answer 1

分析：（1）設P（x，y），根據題意，得

x2+(y-1)2

+3-y=4，由此可知點P的軌跡C的方程是y=

1

4

x²（y≤3）．
（2）設過Q的直線方程為y=kx-1，代入拋物線方程，整理得x²-4kx+4=0．由此入手可求出所求的區域的面積．

解答：解：（1）設P（x，y），根據題意，得

x2+(y-1)2

+3-y=4，化簡，得點P的軌跡C的方程y=

1

4

x²（y≤3）．（4分）
（2）設過Q的直線方程為y=kx-1，代入拋物線方程，整理得x²-4kx+4=0．
由△=16k²-16=0．解得k=±1．
于是所求切線方程為y=±x-1．
切點的坐標為（2，1），（-2，1）．
由對稱性知所求的區域的面積為S=2

∫

2 0

[

1

4

x2-(x-1)]dx=

3

4

．（10分）

點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，仔細求解．