Question

在正方形ABCD中，P是對角線BD上一點，E、F分別在邊BC、CD上，且四邊形PECF為矩形，用向量方法證明：
（1）PA=EF；
（2）PA⊥EF．

Answer 1

分析：（1）以B為原點、BC為x軸建立如圖直角坐標系，設正方形的邊長為1，且BE=x，可得A、B、E、F、P各點的坐標，從而得到

AP

、

EF

的坐標，得到|

AP

|=

2x2-2x+1

且|

EF

|=

2x2-2x+1

，因此得到PA=EF；
（2）根據（1）中的數據，算出

AP

、

EF

的數量積為0，從而得到

AP

⊥

EF

，即AP⊥EF．

解答：解：以B為原點、BC為x軸，建立直角坐標系，如圖所示
設正方形的邊長為1，且BE=x，可得B（0，0），E（x，0），F（1，x），
P（x，x），A（0，1）…2′
可得

AP

=(x，x-1)，

EF

=(1-x，x)
（1）根據向量模的公式，得|

AP

|=

x2+(x-1)2

=

2x2-2x+1

，|

EF

|=

(1-x)2+x2

=

2x2-2x+1

∴|

AP

|=|

EF

|，即AP=EF…6′
（2）∵

AP

=(x，x-1)，

EF

=(1-x，x)
∴

AP

•

EF

=x(1-x)+(x-1)x=0
可得

AP

⊥

EF

，即AP⊥EF…10′

點評：本題在正方形ABCD中，證明線面線段AP與RF垂直且相等，著重考查了正方形的性質和利用向量知識證明平面幾何結論的方法，屬于中檔題．