Question

11．若點O和點F分別為橢圓$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{3}$=1的中心和左焦點，點P為橢圓上任一點，則$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{FP}$的最小值為（　　）

• A． 2
• B． 4
• C． 6
• D． 8

Answer 1

分析 根據橢圓的方程算出橢圓的左焦點為F（-1，0），設P（x，y），求得$\overrightarrow{OP}$，$\overrightarrow{FP}$的坐標，利用向量數量積的坐標公式建立$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{FP}$=0，關于x、y的表達式，結合橢圓的方程化簡，利用二次函數的性質即$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{FP}$的最小值．

解答 解：橢圓$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{3}$=1中，a²=4，b²=3，可得c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=1．
∵點P為橢圓$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{3}$=1上的任意一點，
∴設P（x，y），則-2≤x≤2，
∵橢圓的左焦點為F（-1，0），
∴$\overrightarrow{OP}$=（x，y），$\overrightarrow{FP}$=（x+1，y），
可得$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{FP}$=x（x+1）+y²=x²+x+3（1-$\frac{1}{4}$x²），
=$\frac{1}{4}$x²+x+3=（$\frac{1}{2}$x+1）²+2，
∵-2≤x≤2，得0≤$\frac{1}{2}$x+1≤2，
∴0≤（$\frac{1}{2}$x+1）²≤4，可得2≤（$\frac{1}{2}$x+1）²+2≤6．
即$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{FP}$最小值為2，
故選：A．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查平面向量數量積的坐標運算，二次函數圖象及性質，考查轉化思想與解決問題的能力，屬于中檔題．