Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，點E為AB的中點．
（1）求A₁D與平面AD₁E所成的角；
（2）求二面角D-CE-D₁的平面角的正切值．

Answer 1

分析：（1）長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，可得四邊形AA₁D₁D為正方形，可得A₁D⊥AD₁，由線面垂直的判定與性質，證出 A₁D⊥AE，從而得到AD₁⊥面AD₁E，即得A₁D與平面AD₁E所成的角為90°；
（2）連結DE，在矩形ABCD中證出DE⊥CE，由長方體的性質和線面垂直的性質證出DD₁⊥CE，從而得到CE⊥面DD₁E，得D₁E⊥CE，得出∠DED₁是二面角D-CE-D₁的平面角．Rt△DD₁E中利用三角函數的定義算出tan∠DED₁=

2

2

，即得二面角D-CE-D₁的平面角的正切值．

解答：解：（1）在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵AD=AA₁=1，∴A₁D⊥AD₁
又∵長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB⊥側面ADD₁A₁，
A₁D?側面ADD₁A₁，
∴A₁D⊥AB即A₁D⊥AE，
∵AD₁∩AE=A，AD₁，AE?面AD₁E，
∴AD₁⊥面AD₁E，即A₁D與平面AD₁E所成的角為90°；
（2）連結DE，在矩形ABCD中，
∵AB=2，AD=1，且E為AB之中點，∴DE⊥CE且DE=

2

，
又∵DD₁⊥底面ABCD，CE?底面ABCD，∴DD₁⊥CE，
∵DD₁∩DE=D，DD₁、DE?面DD₁E，∴CE⊥面DD₁E，
∵D₁E?面DD₁E，∴D₁E⊥CE，
因此，∠DED₁是二面角D-CE-D₁的平面角
在Rt△DD₁E中，tan∠DED1=

DD1

DE

=

1

2

=

2

2

，即二面角D-CE-D₁的平面角的正切值為

2

2

．

點評：本題在長方體中求直線與平面所成角大小，并探索二面角的正切值．著重考查了長方體的性質、線面垂直的判定與性質和二面角的定義與求法等知識，屬于中檔題．