Question

設(shè)橢圓C₁和拋物線C₂的焦點(diǎn)均在軸上，C₁的中心和C₂的頂點(diǎn)均為原點(diǎn)，從每條曲線上各取兩點(diǎn)，將其坐標(biāo)記錄于下表中：

	3	-2	4
		0	-4

 
（1）求曲線C₁，C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線與橢圓C₁交于不同兩點(diǎn)M、N，且。請問是否存在直線過拋物線C₂的焦點(diǎn)F？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

(1) ；
(2)存在，

（1）由題意（-2，0）一定在橢圓C₁上。設(shè)C₁方程為，則.
橢圓C₁上任何點(diǎn)的橫坐標(biāo)
所以也在C₁上，從而，C₁的方程為.   4分
從而，（4，-4）一定在C₂上，設(shè)C₂的方程為
即C₂的方程為 （2）假設(shè)直線過C₂的焦點(diǎn)F（1，0）。當(dāng)的斜率不存在時(shí)，則
此時(shí)，與已知矛盾。  當(dāng)的斜率存在時(shí)設(shè)為，則的方程為代入C₁方程并整理得：
 設(shè)，則

，，
存在符合條件的直線且方程為