Question

【題目】已知（ +1）m= xm+ym ， 其中m，xm ， ym∈N* ．
（1）求證：ym為奇數；
（2）定義：[x]表示不超過實數x的最大整數．已知數列{an}的通項公式為an=[ n]，求證：存在{an}的無窮子數列{bn}，使得對任意的正整數n，均有bn除以4的余數為1．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵（ +1）m= xm+ym，

∴（ +1）m+1=（ xm+ym）（ +1）= （xm+ym）+（2xm+ym）

得ym+1=2xm+ym，即ym+1與ym同奇偶，

而當m=1時，y1為奇數；

∴ym為奇數

（2）證明：由二項式定理得（ ﹣1）m= xm﹣ym，

則2xm2﹣ym2=1，即2xm2=ym2+1＞ym2，

∴ym4＜2xm2ym2=ym2（ym2+1）＜（ym2+1）2，

從而有ym2＜ xmym＜ym2+1，

令n=xmym，則bn=[ n]=[ xmym]=ym2，

由（1）知ym為奇數，

∴bn除以4的余數為1

【解析】（1）根據條件得（ +1）m+1= （xm+ym）+（2xm+ym），判斷ym+1與ym同奇偶，進行判斷即可．（2）由二項式定理得（ ﹣1）m= xm﹣ym ， 建立方程組進行轉化求解證明即可．