Question

（2013•青島一模）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦距為2

3

，離心率為

2

2

，其右焦點為F，過點B（0，b）作直線交橢圓于另一點A．
（Ⅰ）若

AB

•

BF

=-6，求△ABF外接圓的方程；
（Ⅱ）若直線y=k（x-2）與橢圓N：

x2

a2

+

y2

b2

=

1

3

相交于兩點G、H，且|

HG

|＜

2 5

3

，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）利用橢圓的焦距、離心率e=

c

a

及a²=b²+c²即可得到橢圓的標準方程；設A（x₀，y₀），利用向量的數量積及點A滿足橢圓的方程即可得出點A的坐標，由點A，B，F的坐標即可得到此三角形的外接圓的方程．
（II）設G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），把直線GH的方程與橢圓方程聯立得到判別式△滿足的條件及其根與系數的關系，再利用向量的模的計算公式即可得出．

解答：解：（Ⅰ）由題意知：c=

3

，e=

c

a

=

2

2

，又a²-b²=c²，
解得：a=

6

，b=

3

，
∴橢圓C的方程為：

x2

6

+

y2

3

=1．
由此可得：B(0，

3

)，F(

3

，0)
設A（x₀，y₀），則

AB

=(-x0，

3

-y0)，

BF

=(

3

，-

3

)，
∵

AB

•

BF

=-6，∴-

3

x0-

3

(

3

-y0)=-6，即y0=x0-

3

由

x02 6 + y02 3 =1 y0=x0- 3

⇒

x0=0 y0=- 3

，或

x0= 4 3 3 y0= 3 3

即A(0，-

3

)，或A(

4 3

3

，

3

3

)．
①當A的坐標為(0，-

3

)時，|OA|=|OB|=|OF|=

3

，
∴△ABF外接圓是以O為圓心，

3

為半徑的圓，即x²+y²=3．
②當A的坐標為(

4 3

3

，

3

3

)時，AF和BF的斜率分別為1和-1，
所以△ABF為直角三角形，其外接圓是以線段AB為直徑的圓，圓心坐標為(

2 3

3

，

2 3

3

)，半徑為

1

2

|AB|=

15

3

，
∴△ABF外接圓的方程為(x-

2 3

3

)2+(y-

2 3

3

)2=

5

3

綜上可知：△ABF外接圓方程是x²+y²=3，或(x-

2 3

3

)2+(y-

2 3

3

)2=

5

3

．
（Ⅱ）由題意可知直線GH的斜率存在．設G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），
由

y=k(x-2) x2 2 +y2=1

得：（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0
由△=64k⁴-4（2k²+1）（8k²-2）＞0得：k2＜

1

2

…（*）
x1+x2=

8k2

1+2k2

，x1x2=

8k2-2

1+2k2

．
|

HG

|＜

2 5

3

，即

1+k2

|x1-x2|＜

2 5

3

．
∴(1+k2)[

64k4

(1+2k2)2

-4×

8k2-2

1+2k2

]＜

20

9

，
∴k2＞

1

4

，結合（*）得：

1

4

＜k2＜

1

2

．
所以-

2

2

＜k＜-

1

2

或

1

2

＜k＜

2

2

．

點評：本題綜合考查了橢圓的標準方程、三角形的外接圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為把直線的方程與橢圓方程聯立得到判別式△滿足的條件及其根與系數的關系、向量的數量積運算及其向量模的計算公式等知識與方法，熟練掌握其解題模式是解題的關鍵．