Question

使得函數f(x)=

1

5

x2-

4

5

x-

7

5

(a≤x≤b)的值域為[a，b]（a＜b）的實數對（a，b）有（　　）對．

A．1

B．2

C．3

D．無數

Answer 1

分析：按照b≤2，a≥2，a＜2＜b三種情況討論函數的最值，令其最小值為a，最大值為b，解出方程組即可得到答案．

解答：解：f（x）=

1

5

(x-2)2-

11

5

，
①當b≤2時，f（x）在[a，b]上遞減，
則f（a）=b，f（b）=a，即

1 5 a2- 4 5 a- 7 5 =b 1 5 b2- 4 5 b- 7 5 =a

，解得

a=-2 b=1

或

a=1 b=-2

（舍）；
②當a≥2時，f（x）在[a，b]上遞增，
則f（a）=a，f（b）=b，即

1 5 a2- 4 5 a- 7 5 =a 1 5 b2- 4 5 b- 7 5 =b

，解得a=

9± 109

2

，b=

9± 109

2

，又2≤a＜b，所以無解；
③當a＜2＜b時，f（2）=a，即a=-

11

5

，
而f（a）=f（-

11

5

）=

166

125

，f（b）=

1

5

b2-

4

5

b-

7

5

，
若f（a）＞f（b），則f（a）=

166

125

=b，與b＞2矛盾；
若f（a）＜f（b），則f（b）=b，即

1

5

b2-

4

5

b-

7

5

=b，解得b=

9+ 109

2

或

9- 109

2

（舍），
此時a=-

11

5

，b=

9+ 109

2

，
綜上，滿足條件的實數對（a，b）有兩個，
故選B．

點評：本題考查二次函數在閉區間上的最值求解，考查分類討論思想，考查學生解決問題的能力．