Question

【題目】已知函數（）.

（1）若，求的導數；

（2）討論的單調區間；

（3）設，若對任意，均存在，使得，求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析（3）.

【解析】

（1）根據得到，再求導.

（2）（）根據定義域和根的大小，分，， ，四種情況討論求解.

（3）根據對任意，均存在，使得，轉化為在上有，然后分別求得兩個函數的最大值即可.

（1）當時，，

所以.

（2）（）.可化為

（）.

①當時，，，在區間上，，在區間上，

故的單調遞增區間是，單調遞減區間是.

②當時，，在區間和上，；在區間上，

故的單調遞增區間是和，單調遞減區間是.

③當時，，故的單調遞增區間是.

④當時，，在區間和上，；在區間上，，

故的單調遞增區間是和，單調遞減區間是.

（3）由已知，在上有.

因為，

所以，由（2）可知，

①當時，在上單調遞增，

故，

所以，解得，

故.

②當時，在上單調遞增，在上單調遞減，

故.

由可知，，，

所以，，即，

綜上所述，.