Question

已知一幾何體的三視圖如圖（甲）示，（三視圖中已經給出各投影面頂點的標記）
（1）在已給出的一個面上（圖乙），畫出該幾何體的直觀圖；
（2）設點F、H、G分別為AC，AD，DE的中點，
求證：FG∥平面ABE；
（3）求該幾何體的全面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據三視圖判斷該幾何體是底面為正方形的直四棱柱，AC垂直底面．
（2）利用三角形的中位線性質證明線面平行，進而證明面面平行，再利用面面平行的性質證明線面平行．
（3）棱錐的全面積等與各個面的面積之和，先證各個側面都是直角三角形，計算出各個側面的面積．
解答：解：（1）該幾何體的直觀圖如圖示：
（2）證明：由圖（甲）知四邊形CBED為正方形
∵F、H、G分別為AC，AD，DE的中點
∴FH∥CD，HG∥AE
∵CD∥BE∴FH∥BE
∵BE?面ABE，FH?面ABE
∴FH∥面ABE
同理可得 HG∥面ABE
又∵FH∩HG=H
∴平面FHG∥平面ABE
又∵FG?面FHG
∴FG∥平面ABE

（3）由圖甲知AC⊥CD，AC⊥BC，BC⊥CD
∴CD⊥平面ACB，
∴CD⊥AB
同理可得ED⊥AD
∵S_△ACB=S_△ACD，S_△ABE=S_△ADE=×2×2=2，S_CBED=4，
∴該幾何體的全面積
S=S_△ACB+S_△ACD+S_△ABE+S_△ADE+S_CBED=2+2+4+4=4（2+）．
點評：本題考查利用三視圖判斷幾何體的形狀，求幾何體的表面積，證明線面垂直．