Question

如圖，棱柱ABC-A₁B₁C₁的側面BCC₁B₁是菱形，B₁C⊥A₁B
（Ⅰ）證明：平面AB₁C⊥平面A₁BC₁；
（Ⅱ）設D是A₁C₁上的點，且A₁B∥平面B₁CD，求A₁D：DC₁的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）證明平面AB₁C內的直線B₁C垂直平面A₁BC₁，內的兩條相交直線A₁B，BC₁，即可證明平面AB₁C⊥平面A₁BC₁；
（Ⅱ）D是A₁C₁上的點，且A₁B∥平面B₁CD，BC₁交B₁C于點E，連接DE，E是BC₁的中點，推出D為A₁C₁的中點，可得A₁D：DC₁的值．
解答：（Ⅰ）證明：因為側面BCC₁B₁是菱形，所以B₁C⊥BC₁
又已知B₁C⊥A₁B，且A₁B∩BC₁=B，
又B₁C⊥平面A₁BC₁，又B₁C?平面AB₁C，
所以平面AB₁C⊥平面A₁BC₁．
（Ⅱ）解：設BC₁交B₁C于點E，連接DE，
則DE是平面A₁BC₁與平面B₁CD的交線，
因為A₁B∥平面B₁CD，所以A₁B∥DE．
又E是BC₁的中點，所以D為A₁C₁的中點．
即A₁D：DC₁=1．
點評：本題考查平面與平面垂直的判定，直線與平面平行的性質，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．