Question

（2013•杭州二模）已知a²sinθ+acosθ-2=0，b²sinθ+bcosθ-2=0（a，b，θ∈R，且a≠b），直線l過點A（a，a²），B（b，b²），則直線l被
圓（x-cosθ）²+（y-sinθ）²=4所截得的弦長為

2

3

．

Answer 1

分析：由條件求得

ab

1+(a+b)2

=2，經過兩點（a，a²），（b，b²）的直線方程為（b+a）x-y-ab=0．再由a和b是方程sinθ•x²+cosθx-2=0的兩個根，可得 a+b=-

cosθ

sinθ

，
ab=

-2

sinθ

，故直線l即 cosθx+sinθy-2=0．求得圓心（cosθ，sinθ）到直線l的距離d 的值，再故由弦長公式可得弦長．

解答：解：∵a²sinθ+acosθ-2=0，b²sinθ+bcosθ-2=0，∴

cosθ= 2(a+b) ab sinθ= -2 ab

，∵sin²θ+cos²θ=1，∴

ab

1+(a+b)2

=2．
經過兩點（a，a²），（b，b²）的直線方程為

y-a2

b2-a2

=

x-a

b-a

，即（b+a）x-y-ab=0．
再由a和b是方程sinθ•x²+cosθx-2=0的兩個根，∴a+b=-

cosθ

sinθ

，ab=

-2

sinθ

，故直線l即-

cosθ

sinθ

 x-y+

2

sinθ

=0，
即 cosθx+sinθy-2=0．
由于圓心（cosθ，sinθ）到直線l的距離d=

|cos2θ+sin2θ-2|

cos2θ+sin2θ

=1，故由弦長公式可得弦長為 2

r2-d2

=2

3

，
故答案為 2

3

．

點評：本題得主要考查是直線與圓的位置關系，三角函數的平方關系、兩點式求直線方程、點到直線的距離公式、弦長公式，直線與圓相切的條件，屬于中檔題．