Question

直線l與橢圓交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，已知=（ax₁，by₁），=（ax₂，by₂），若⊥且橢圓的離心率，又橢圓經過點，O為坐標原點．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若直線l過橢圓的焦點F（0，c）（c為半焦距），求直線l的斜率k的值；
（Ⅲ）試問：△AOB的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用橢圓的離心率，橢圓經過點，建立方程組，求得幾何量，從而可得橢圓的方程；
（Ⅱ）設l的方程，代入橢圓方程，利用韋達定理，結合=0可得方程，從而可求直線l的斜率k的值；
（Ⅲ）分類討論：①當直線AB斜率不存在時，即x₁=x₂，y₁=-y₂，利用=0，A在橢圓上，可求△AOB的面積；②當直線AB斜率存在時，設AB的方程為y=kx+t，代入橢圓方程，利用韋達定理，結合=0可得△AOB的面積是定值．
解答：解：（Ⅰ）∵橢圓的離心率，橢圓經過點，∴…2分
∴a=2，b=1
∴橢圓的方程為…3分
（Ⅱ）依題意，設l的方程為
由，∴
顯然△＞0，…5分
由已知=0得：==
解得…6分．
（Ⅲ）①當直線AB斜率不存在時，即x₁=x₂，y₁=-y₂，
∵=0，∴，
∵A在橢圓上，∴，∴，|y₁|=
∴S==1；
②當直線AB斜率存在時，設AB的方程為y=kx+t，代入橢圓方程，可得（k²+4）x²+2ktx+t²-4=0
△=4k²t²-4（k²+4）（t²-4）＞0，x₁+x₂=，x₁x₂=
∵=0，∴4x₁x₂+y₁y₂=0，∴4x₁x₂+（kx₁+t）（kx₂+t）=0
∴2t²-k²=4
∴==1
綜上，△AOB的面積是定值1．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查三角形面積的計算，解題的關鍵是聯立方程，利用韋達定理進行求解．