Question

設（b，c為常數），若，且只有唯一實數根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）令a₁=1，a_n=f（a_n-1）求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意利用待定系數法，先列出關于a，b的方程組，解方程組即可求出a，b的值，從而得出f（x）的解析式；
（2）根據（1）中求出的f（x）的解析式，分兩種情況分別求解數列{a_n}的通項公式．一種情況是直接利用等比數列的通項公式求解；另一種情況是通過變形得到+1=2（+1），所以數列{+1}是等比數列，寫出數列{+1}的通項公式，變形后即可得到{a_n}的通項公式．
解答：解：（1）∵（b，c為常數），若，且只有唯一實數根，
∴，
∴或，
解得b=0，c=4，或b=1，c=2
∴或
（2）當時得
a_n=f（a_n-1）=a_n-1，又a₁=1，
∴數列{a_n}是一個首項為1，公式為的等比數列，
∴數列{a_n}的通項公式為：a_n=；
當時得
a_n=f（a_n-1）=，
∴=+1，+1=2（+1），
又a₁=1，
∴數列{+1}是一個首項為2，公式為2的等比數列，
∴+1=2ⁿ，∴a_n=，
∴數列{a_n}的通項公式為：a_n=．
點評：此題考查學生掌握等比數列的性質并會確定一個數列為等比數列，靈活運用等比數列的通項公式，是一道綜合題．