Question

已知函數y=f（x）的圖象與h(x)=

1

2

(x+

1

x

)+2的圖象關于點A（0，1）對稱．
（1）求函數y=f（x）的解析式．
（2）若g(x)=f(x)+

a

2x

且g（x）在區間（0，2]上為減函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設點P（x，y）為y=f（x）圖象的任意一點，則點P（x，y）關于點A（0，1）的對稱點一定落在h（x）的圖象上，代入解析式可求得；
（2）由（1）可得g（x）的解析式，把g（x）在區間（0，2]上為減函數轉化為其導函數小于等于0，分離出a，然后只需求出函數x²-1在x∈（0，2]上的最大值即可．

解答：解：（1）設點P（x，y）為函數y=f（x）圖象的任意一點，則點P（x，y）關于點A（0，1）的對稱點
P′（-x，2-y）一定在h(x)=

1

2

(x+

1

x

)+2的圖象上，則有2-y=

1

2

(-x-

1

x

)+2，
變形得，y=

1

2

x+

1

2x

，
即函數y=f（x）的解析式為：f（x）=

1

2

x+

1

2x

．
（2）由（1）知：g(x)=f(x)+

a

2x

=

1

2

x+

1+a

2x

，在區間（0，2]上為減函數可得
g′（x）=

1

2

-

1+a

2x2

≤0在x∈（0，2]上恒成立，即a≥x²-1恒成立，
故只需a≥（x²-1）_max=4，
故實數a的取值范圍為：a≥4

點評：本題考查函數在對稱區間的解析式的求解，以及恒成立問題，轉化的思想是解決問題的關鍵，屬基礎題．