Question

如圖，已知放在同一平面上的兩個正三棱錐P-ABD、S-BCD（底面是正三角形且頂點在底面上的射影是底面正三角形的中心）的側棱長都相等．若AB=6，二面角P-BD-S的余弦值為．
（Ⅰ）求證：PB⊥平面PAD；
（Ⅱ）求多面體SPABC的體積..

Answer 1

【答案】分析：（I）設AC、BD的交點為O，連接OP、OS．先用等腰三角形PBD與等腰三角形SBD證明出PO、SO都與BO垂直，∠POS為二面角P-BD-S的平面角，然后在菱形ABCD中求出P、S在底面的射影的距離等于
2，從而PS=2，在等腰三角形PSO中利用余弦定理結合二面角P-BD-S的余弦值為計算出PO長，再在Rt三角形POB中求出PB長，得到△PBD、△PBA都是等腰直角三角形，從而結合線面垂直的判定得到PB⊥平面PAD；
（II）根據（I）的數據不難計算出正三棱錐P-ABD的高PN=，從而得到正三棱錐P-ABD的體積為，最終可得多面體SPABC的體積．
解答：解：（Ⅰ）分別作出兩個正三棱錐的高PN、SM，連接AC交BD于O，連接OP、OS
∵△ADB與△BCD都是正三角形
∴四邊形ABCD是菱形且∠BCD=60°，可得AC、DB互相垂直平分
∵△PBD中，PB=PD，O為BD中點
∴PO⊥BD，
同理，SO⊥BD，可得∠POS為二面角P-BD-S的平面角
∵ON=，OM=∴MN=
∵四邊形ABCD是菱形且∠BCD=60°，
∴AC=AB=6⇒MN==2
∵正三棱錐P-ABD、S-BCD是兩個全等的三棱錐
∴兩條高PN、SM平行且相等
可得四邊形PSMN是矩形，所以PS=MN=2
∵兩個正三棱錐的側棱長都相等
∴等腰三角形OPS中，根據余弦定理得：cos∠POS=
可得OP=OS=3
∵Rt△POB中，
∴PB=
在△PDB中，PB²+PD²=36=BD²
∴∠BPD=90°⇒BP⊥PD
同理可得：BP⊥PA，結合PA∩PD=P
∴PB⊥平面PAD
（Ⅱ）由（I）得PA=PB=，AN=，
∴Rt△PAN中，高PN==
因此，正三棱錐P-ABD的體積=××=
∴多面體SPABC的體積為V₁=2×=
點評：本題是一道立體幾何的綜合題，著重考查了組合幾何體的面積、體積問題直線與平面垂直的判定等知識點，屬于中檔題．