Question

若非零不共線向量

a

、

.

b

滿足|

a

-

.

b

|=|

.

b

|，則下列結論正確的個數是

3

．
①向量

a

、

.

b

的夾角恒為銳角；  ②2|

.

b

|²＞

a

•

.

b

；  ③|2

.

b

|＞|

a

-2

.

b

|；  ④|2

a

|＜|2

a

-

.

b

|．

Answer 1

分析：對于①，利用已知條件，推出向量

a

、

.

b

、

a

-

b

組成的三角形是等腰三角形，判定正誤即可．
對于②，利用數量積公式，結合已知條件，判斷正誤． 對于③，通過平方以及向量的數量積判斷正誤．
對于④，|2

a

|＜|2

a

-

.

b

|等價于 4|

a

|cos＜

a

，

b

＞＜|

b

|，不一定成立，說明正誤即可．

解答：解：∵非零不共線向量

a

、

.

b

滿足|

a

-

.

b

|=|

.

b

|，∴向量

a

、

.

b

、

a

-

b

 組成的三角形是等腰三角形，
且向量

a

為底邊，故向量

a

、

.

b

的夾角恒為銳角，①正確．
②2|

.

b

|²＞

a

•

.

b

 等價于2|

.

b

|²＞|

a

|•|

b

|•cos＜

a

，

b

＞，等價于2|

b

|＞|

a

|•cos＜

a

，

b

＞．
而由|

a

-

.

b

|=|

.

b

|可得|

a

-

.

b

|+|

.

b

|=2|

.

b

|＞|

a

|＞|

a

|•cos＜

a

，

b

＞，即 2|

b

|＞|

a

|•cos＜

a

，

b

＞成立，
故②正確．
③|2

.

b

|＞|

a

-2

.

b

|等價于 4

b

2＞

a

2-4

a

•

b

+4

b

2，等價于 4

a

•

b

＞

a

2，
等價于 4|

a

|•|

b

|cos＜

a

，

b

＞＞

a

2，等價于  4|

b

|cos＜

a

，

b

＞＞|

a

|．
而 2|

b

|cos＜

a

，

b

＞=|

a

|，∴4|

b

|cos＜

a

，

b

＞＞|

a

|成立，故正確．
④|2

a

|＜|2

a

-

.

b

|等價于 4

a

2＜4

a

2-4

a

•

b

+

b

2，等價于 4

a

•

b

＜

b

2，
等價于 4|

a

|cos＜

a

，

b

＞＜|

b

|，不一定成立，所以④不正確．
故答案為 3．

點評：本題考查向量的數量積的應用，向量的模的求法，考查計算能力，屬于中檔題．