Question

已知曲線f（x）=xⁿ⁺¹（n∈N^*）與直線x=1交于點P，若設曲線y=f（x）在點P處的切線與x軸交點的橫坐標為x_n，則log₂₀₁₁x₁+log₂₀₁₁x₂+…+log₂₀₁₁x₂₀₁₀的值為

-1

．

Answer 1

分析：由導數的幾何意義先求切線的斜率k，可得過（1，1）的切線方程，在切線方程中令y=0，可得x_n，然后根據對數的運算法則計算即可得到結論．

解答：解：求導函數，可得f′（x）=（n+1）xⁿ，
設過（1，1）的切線斜率k，則k=f′（1）=n+1，
∴切線方程為y-1=（n+1）（x-1）
令y=0，可得x_n=

n

n+1

，
∴x₁•x₂…x₂₀₁₀=

1

2

×

2

3

×…×

2010

2011

=

1

2011

，
∴log₂₀₁₁x₁+log₂₀₁₁x₂+…+log₂₀₁₁x₂₀₁₀
=log₂₀₁₁（x₁×x₂×…×x₂₀₁₀）
=log2011

1

2011

=-1．
故答案為：-1．

點評：本題考查導數的幾何意義及過某一定點的切線方程，考查對數的運算法則，解題的關鍵是正確運用對數的運算法則．