Question

【題目】已知點P在曲線x2+y2=1上運動，過點P作x軸的垂線，垂足為Q，動點M滿足.

（1）求動點M的軌跡方程；

（2）點AB在直線x﹣y﹣4=0上，且AB=4，求△MAB的面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）x2+=1（2）

【解析】

（1）設，再由已知將用表示，代入曲線方程，即可求解；

（2）要求△MAB的面積的最大值，只需求點到直線距離的最大值，當點為與直線平行且距離較遠的切線的切點時，為所求的點，轉化為求與直線平行的切線方程，即可得出結論.

（1）設，

∵動點M滿足.∴，

∴，解得:，

代入曲線，可得:.

∴動點M的軌跡方程為: .

（2）設與直線x﹣y﹣4=0平行且與橢圓相切的直線方程為:x﹣y+m=0，

聯立，化為:9x2+2mx+m2﹣8=0，

令，解得.取.

可得切線:x﹣y+3=0與直線x﹣y﹣4=0的距離

d=.

∴△MAB的面積的最大值為.