Question

已知

a

=（1，sinθ），

b

=（1，cosθ），（θ∈R）
（1）若

a

+

b

=(2，0)，求sin²θ+2sinθcosθ得值．
（2）若

a

-

b

=（0，

1

5

），求sinθ+cosθ得值．

Answer 1

分析：（1）首先利用向量求出sinθ+cosθ=0，然后對所求的式子除以“1”把“1“寫成sin²θ+cos²θ=1，再分子分母同除以cos²θ，即可求出結果．
（2）首先利用向量求出sinθ-cosθ，然后利用sin²θ+cos²θ=1，求出2sinθcosθ，進而得到（sinθ+cosθ）²，即可取出結果．

解答：解：（1）∵

a

+

b

=(2，sinθ+cosθ)=(2，0)∴sinθ+cosθ=0（2分）
∴sin2θ+2sinθcosθ=

sin2θ+2sinθcosθ

sin2θ+cos2θ

=

tan2θ+2tanθ

tan2θ+1

=

1-2

2

=-

1

2

（5分）
（2）∵

a

-

b

=(0，sinθ-cosθ)=(0，

1

5

)∴sinθ-cosθ=

1

5

，（6分）
∴1-2sinθcosθ=

1

25

即2sinθcosθ=

24

25

，（8分）
∴(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ=1+

24

25

=

49

25

∴sinθ+cosθ=±

7

5

（10分）

點評：本題利用向量來考查三角函數的化簡求值，本題的關鍵是利用sin²θ+cos²θ=1，屬于基礎題．