Question

已知數列log₂（a_n-1）（n∈N*）為等差數列，且a₁=3，a₂=5，則

1

a2-a1

+

1

a3-a2

+…+

1

an+1-an

=

 

．

Answer 1

分析：根據題意可先求等差數列的公差d，及首項log₂（a₁-1），代入等差數列的通項公式可求log₂（a_n-1），進而可求得a_n=2ⁿ+1，a_n+1-a_n=2ⁿ⁺¹-2ⁿ=2ⁿ，代入等比數列的前n項和公式可求

1

a2-a1

+

1

a3-a2

+…+

1

an+1-an

=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

，利用等比數列的前n項和公式可求答案．

解答：解：設等差數列的公差為d，則d=log₂（a₂-1）-log₂（a₁-1）=1
∴log₂（a_n-1）=log₂2+（n-1）×1=n
∴a_n=2ⁿ+1
則a_n+1-a_n=2ⁿ⁺¹-2ⁿ=2ⁿ
∴

1

a2-a1

+

1

a3-a2

+…+

1

an+1-an

=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

=

1 2 [1-( 1 2 )]n

1- 1 2

=1-

1

2n

故答案為：1-

1

2n

點評：等差數列與等比數列的通項及和的求解一直是高考在數列部分的考查重點與熱點之一，要求考生牢固掌握基礎知識，具備一定的計算能力，才可以解決本節的問題．