Question

已知函數f（x）=

1

3

x³-

a+1

2

x²+bx+a（a，b∈R），且其導函數f′（x）的圖象過原點．
（1）若存在x＜0，使得f′（x）=-9，求a的最大值；
（2）當a＞0時，求函數f（x）的極值．

Answer 1

分析：（1）先對函數f（x）進行求導，根據f′（x）=-9建立等量關系，再結合基本不等式求出最大值，注意不等式運用的條件；
（2）討論滿足f′（x）=0的點附近的導數的符號的變化情況，來確定極值點，求出極值即可．

解答：解：f（x）=

1

3

x³-

a+1

2

x²+bx+a，f′（x）=x²-（a+1）x+b
由f′（0）=0得b=0，f′（x）=x（x-a-1）．
（1）存在x＜0，使得f′（x）=x（x-a-1）=-9，
-a-1=-x-

9

x

=（-x）+(-

9

x

)≥2

(-x)．(- 9 x )

=6，
∴a≤-7，
當且僅當x=-3時，a=-7．所以a的最大值為-7．
（2）當a＞0時，x，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

f（x）的極大值f（0）=a＞0，
f（x）的極小值f（a+1）=a-

1

6

（a+1）³

點評：本題主要考查了利用導數研究函數的極值，以及基本不等式的應用，屬于基礎題．