Question

已知函數(shù)f(x)=

ax+b

x2+1

是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，且f(

1

2

)=

2

5

．
①確定函數(shù)的解析式；
②用單調(diào)性的定義，證明f（x）在（0，1）上是增函數(shù)．

Answer 1

分析：①由函數(shù)f（x）是奇函數(shù)可得f（0）=0可求b，由f(

1

2

)=

2

5

可求a，進而可求f（x）
②由①可得f(x)=

x

x2+1

，利用單調(diào)性的定義設(shè)0＜x₁＜x₂＜1，則f(x1)-f(x2)=

x1

x12+1

-

x2

x22+1

=

(x1-x2)(1-x1x2)

(x12+1)(x22+1)

，結(jié)合0＜x₁＜x₂＜1，判斷f（x₁）與f（x₂）的大小即可

解答：解：①∵函數(shù)f(x)=

ax+b

x2+1

在（-1，1）上是奇函數(shù)
∴f（0）=0
∴b=0…（2分）
又∵f(

1

2

)=

2

5

，解得a=1…（2分）
∴f(x)=

x

x2+1

…（2分）
②關(guān)于f(x)=

x

x2+1

在（0，1）上是增函數(shù)的證明如下：
設(shè)0＜x₁＜x₂＜1，則                  …（1分）
f(x1)-f(x2)=

x1

x12+1

-

x2

x22+1

=

(x1-x2)(1-x1x2)

(x12+1)(x22+1)

…（2分）
∵0＜x₁＜x₂＜1
∴x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0，（x₁²+1）（x₂²+1）＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0則f（x₁）＜f（x₂）…（2分）
∴f(x)=

x

x2+1

在（0，1）上是增函數(shù)．…（1分）

點評：本題主要考查了奇函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，f（0）=0，利用該條件可以簡化基本運算，函數(shù)單調(diào)性的定義的應(yīng)用．