Question

如圖1，OA，OB是某地一個(gè)湖泊的兩條互相垂直的湖堤，線段CD和曲線段EF分別是湖泊中的一座棧橋和一條防波堤。為觀光旅游的需要，擬過棧橋CD上某點(diǎn)M分別修建與OA，OB平行的棧橋MG、MK，且以MG、MK為邊建一個(gè)跨越水面的三角形觀光平臺MGK。建立如圖2所示的直角坐標(biāo)系，測得線段CD的方程是x+2y=20（0≤x≤20），曲線段EF的方程是xy=200（5≤x≤40），設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（s，t），記z=s·t。
（題中所涉及的長度單位均為米，棧橋和防波堤都不計(jì)寬度）
（1）求z的取值范圍；
（2）試寫出三角形觀光平臺MGK面積S_△MGK關(guān)于z的函數(shù)解析式，并求出該面積的最小值。

Answer 1

解：（1）由題意，得M（s，t）在線段CD：x+2y（0≤x≤20）上，即s+2t=20，
又因?yàn)檫^點(diǎn)M要分別修建與OA、OB平行的棧橋MG、MK，
所以，
，
 所以z的取值范圍是。
（2）由題意，得，
所以，
則，
因?yàn)楹瘮?shù)單調(diào)遞減，
所以當(dāng)z=50時(shí)，三角形觀光平臺的面積取最小值為225平方米。