Question

如圖1，OA，OB是某地一個湖泊的兩條互相垂直的湖堤，線段CD和曲線段EF分別是湖泊中的一座棧橋和一條防波堤．為觀光旅游的需要，擬過棧橋CD上某點M分別修建與OA，OB平行的棧橋MG、MK，且以MG、MK為邊建一個跨越水面的三角形觀光平臺MGK．建立如圖2所示的直角坐標系，測得線段CD的方程是x+2y=20（0≤x≤20），曲線段EF的方程是xy=200（5≤x≤40），設點M的坐標為（s，t），記z=s•t．（題中所涉及的長度單位均為米，棧橋和防波堤都不計寬度
（1）求z的取值范圍；
（2）試寫出三角形觀光平臺MGK面積S_△MGK關于z的函數解析式，并求出該面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）由題意知，點M（s，t）在線段CD上，即s+2t=20；又因為MG∥OA，MK∥OB，所以，5≤s≤10；
∴z=s•t可以表示出來，從而求出z的取值范圍；
（2）由題意知，點K(s，

200

s

)，G(

200

t

，t)，由MG∥OA，MK∥OB，可得MG、MK的長，即得三角形面積S_△MGK的表示；根據解析式求出面積的最小值即可．

解答：解：（1）由題意知，點M（s，t）在線段CD：x+2y=20（0≤x≤20）上，即s+2t=20，
又因為過點M要分別修建與OA、OB平行的棧橋MG、MK，
所以，5≤s≤10；
∴z=s•t=s(10-

1

2

s)=-

1

2

(s-10)2+50，5≤s≤10；
所以，z的取值范圍是：{z|

75

2

≤z≤50}；
（2）由題意，得K(s，

200

s

)，G(

200

t

，t)
所以，S△MGK=

1

2

•MG•MK=

1

2

(

200

t

-s)(

200

s

-t)=

1

2

(st+

40000

st

-400)；
則：S△MGK=

1

2

(z+

40000

z

-400)，z∈[

75

2

，50]，
因為，函數S△MGK=

1

2

(z+

40000

z

-400)在z∈[

75

2

，50]單調遞減，
所以，當z=50時，三角形觀光平臺的面積取最小值，為225平方米．

點評：本題考查了一次函數，反比例函數模型的應用，利用三角形面積公式考查了基本不等式的應用；同時考查了一定的計算能力，所以要細心解答，以免出錯．