Question

2．已知$\overrightarrow{a}$=（cosx，sinx），$\overrightarrow{b}$=（cosy，siny），若y=x+$\frac{4π}{3}$，則$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$夾角的余弦為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由條件可以得出$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=1$，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=-\frac{1}{2}$，進而可求出$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）^{2}=1$，從而得到$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=1$，并可求出$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）$的值，從而根據向量夾角的余弦公式便可求出$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$夾角的余弦．

解答 解：根據條件：$|\overrightarrow{a}|=1$，$|\overrightarrow{b}|=1$，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=cosxcosy+sinxsiny=cos（x-y）$=$cos（-\frac{4π}{3}）=-\frac{1}{2}$；
$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）^{2}={\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=2+$$2×（-\frac{1}{2}）$=1；
∴$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=1$；
且$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）={\overrightarrow{a}}^{2}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$；
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}＞=\frac{\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|}=\frac{\frac{1}{2}}{1×1}=\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點評 考查根據向量坐標求向量長度，數量積的坐標運算，兩角差的余弦公式，以及數量積的運算，向量夾角的余弦公式．