Question

【題目】已知函數

（1）求函數的單調區間；

（2）設在上存在極大值M，證明：.

Answer 1

【答案】（1）在單調遞增，單調遞減；（2）詳見解析.

【解析】

（1）求得，利用和 即可求得函數 的單調性區間；

（2）求得函數的解析式，求，對的情況進行分類討論得到函數有極大值的情形，再結合極大值點的定義進行替換、即可求解.

（1）由題意，函數，

則，

當時，令，所以函數單調遞增；

當時，令，即，解得或，

令，即，解得，

所以函數在區間上單調遞增，在區間中單調遞減，

當時，令，即，解得或，

令，即，解得，

所以函數 在單調遞增，在單調遞減.

（2）由函數，則，

令，可得

令，解得，

當時. ，函數在 單調遞增，此時，

所以，函數在上單調遞增，此時不存在極大值，

當時，令 解得，令，解得，

所以在上單調遞減，在上單調遞增，

因為在上存在極大值，所以，解得，

因為，

易證明，存在時，，

存在使得，

當在區間上單調遞增，在區間單調遞減，

所以當時，函數取得極大值，即，，

由，

所以