Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c．
（1）若f（0）=1，b=-a-1，解關于x不等式f（x）＜0；
（2）若f（x）的最小值為0，且a＜b，設

b

a

=t，請把

a+b+c

b-a

表示成關于t的函數g（t），并求g（t）的最小值．

Answer 1

分析：（1）由題意可得f（0）=c=1，又b=-a-1，可得f（x）=（x-1）（ax-1）下面由分類討論可得；
（2）由題意可的a＞0且

4ac-b2

4a

=0，易得g（t）=

t2+4t+4

4(t-1)

（t＞1），然后變形為

t-1

4

+

9

4(t-1)

+

3

2

，由基本不等式可得答案．

解答：解：（1）由題意可得f（0）=c=1，又b=-a-1，
所以f（x）=ax²+bx+c=ax²-（a+1）x+1=（x-1）（ax-1）．
當a＞1時，不等式的解集為：{x|

1

a

＜x＜1}；
當0＜a＜1時，不等式的解集為：{x|1＜x＜

1

a

}；
當a＜0時，不等式的解集為：{x|x＜

1

a

或x＞1}；
當a=1時，不等式的解集為空集．
（2）因為f（x）的最小值為0，所即b²=4ac
由因為

b

a

=t，故b=at，c=

at2

4

，故

a+b+c

b-a

=

a+at+ at2 4

at-a

=

t2+4t+4

4(t-1)

，又因為a＜b，所以

b

a

=t＞1故g（t）=

t2+4t+4

4(t-1)

（t＞1）
所以g（t）=

t2+4t+4

4(t-1)

=

(t-1)2+6(t-1)+9

4(t-1)

=

t-1

4

+

9

4(t-1)

+

3

2

≥2

t-1 4 • 9 4(t-1)

+

3

2

=3，當且僅當

t-1

4

=

9

4(t-1)

，即t=4時取等號
故g（t）的最小值為3

點評：本題為二次函數，二次不等式，基本不等式的綜合應用，涉及分類討論的思想，屬基礎題．