Question

已知數列{a_n}，{b_n}是各項均為正數的等比數列，設c_n=，n∈N^*
（Ⅰ）證明：數列{c_n}是等比數列，數列{lna_n}是等差數列．
（Ⅱ）設數列{lna_n}，{lnb_n}的前n項和分別是S_n，T_n．若a₁=2，=，求數列{c_n}的通項公式．
（Ⅲ）在（Ⅱ）條件下，設d_n=，求數列{d_n}的前n項和．

Answer 1

解：（1）設數列{a_n}、b_n的公比分別為p、q（p＞0，q＞0），
則由題意可得，
∴，c₁=a₁•b₁
所以數列c_n以a₁•b₁為首項，以pq為公比的等比數列
又因為，
數列lna_n以lna₁為首項，以lnp為公差的等差數列
（2）由題意可得，
∴==
∴
∴
∴p=4，q=16，b₁=8
∴a_n=2•4^n-1=2^2n-1，b_n=8•16^n-1=2^4n-1
（III）由（II）可得
=
=
=
∴d₁+d₂+d₃+…+d_n
=
=
分析：（I）根據已知條件可設，要證明數列c_n為等比數列只要證明；要證數列lna_n為等差數列，只要證為常數
（II）利用（I）的條件可知數列lna_nlnb_n都為等差數列，代入等差數列的和公式整理可得，根據對應項相等可得p、q、b₁，進而求出a_n，b_n
（III）代入（II）中的條件整理可得，用裂項求和的方法可得結果．
點評：本題主要考查了等差數列、等比數列的定義及判定，考查了等差數列前n項和公式的理解和運用及數列求和中的裂項求和的方法，裂項后要注意相消的項及余下的項的規律．