Question

在數列a_n中，a1=1，an+1=1-

1

4an

，bn=

1

2an-1

，其中n∈N^*．
（1）求證：數列b_n為等差數列；
（2）設cn=2bn，試問數列c_n中是否存在三項，它們可以構成等差數列？若存在，求出這三項；若不存在，說明理由．
（3）已知當n∈N^*且n≥6時，(1-

m

n+3

)n＜(

1

2

)m，其中m=1，2，…n，求滿足等式3n+4n+…+(n+2)n=(bn+3)bn的所有n的值．

Answer 1

分析：（1）根據等差數列的性質，b_n+1-b_n為一個常數即可；
（2）設cn=2bn，試問數列c_n中是否存在三項，它們可以構成等差數列，然后根據等差數列的性質，進行驗證；
（3）已知當n∈N^*且n≥6時，(1-

m

n+3

)n＜(

1

2

)m，其中m=1，2，…n，等式3n+4n+…+(n+2)n=(bn+3)bn進行化簡可化為3ⁿ+4ⁿ++（n+2）ⁿ=（n+3）n，然后進行放縮求解；

解答：解：（1）∵bn+1-bn=

1

2an+1-1

-

1

2an-1

=

1

2- 1 2an -1

-

1

2an-1

=1
∴數列b_n為等差數列4；
（2）解：假設數列c_n中存在三項，它們可以構成等差數列；不妨設為第p，r，q（p＜r＜q）項，
由（1）得b_n=n，
∴c_n=2ⁿ，
∴2•2^r=2^p+2^q，
∴2^r+1-p=1+2^q-p
又2^r+1-p為偶數，1+2^q-p為奇數．
故不存在這樣的三項，滿足條件．
（3）由（2）得等式3n+4n++(n+2)n=(bn+3)bn
可化為3ⁿ+4ⁿ+…+（n+2）ⁿ=（n+3）ⁿ
即(

3

n+3

)n+(

4

n+3

)n++(

n+2

n+3

)n=1
∴(1-

n

n+3

)n+(1-

n-1

n+3

)n++(1-

1

n+3

)n=1
∵當n≥6時，(1-

m

n+3

)n＜(

1

2

)m，
∴(1-

1

n+3

)n＜

1

2

，(1-

2

n+3

)n＜(

1

2

)2，(1-

n

n+3

)n＜(

1

2

)n，
∴(1-

n

n+3

)n+(1-

n-1

n+3

)n++(1-

1

n+3

)n＜

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)n=1-(

1

2

)n＜1
∴當n≥6時，3ⁿ+4ⁿ+…+（n+2）ⁿ＜（n+3）ⁿ
當n=1，2，3，4，5時，
經驗算n=2，3時等號成立
∴滿足等式3n+4n++(n+2)n=(bn+3)bn的所有n=2，3；

點評：此題考等差數列的性質，前兩問比較簡單，第三問難度比較大，放縮時技巧性比較強，不等式與數列的綜合題是高考的熱點問題，也是壓軸題；